勾股定理

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勾股定理(在国外又称为毕达哥拉斯定理,Pythagorean theorem),是平面几何中一个重要的定理,勾股定理说明了直角三角形中三边的关系。余弦定理是勾股定理的一个推广。

内容

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果用abc分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2b2c2

逆定理

如果三角形的三边长abc满足a2b2c2,那么这个三角形是直角三角形。

历史

中国是世界上最早了解勾股定理的国家之一。早在几千年前,《周髀算经》就记载了周朝数学家商高提出的“勾广三,股备四,径隅五”这组勾股数。这本书中还记载了“若求邪至日者,以日下为句[1],日高为股,句股各自乘,并而开方除之,得邪至日”,详细地解释了勾股定理。

在国外,相传古希腊毕达哥拉斯学派首先提出证明了勾股定理,因此勾股定理在国外又称毕达哥拉斯定理。

不过,毕达哥拉斯学派对勾股定理的证明方法并没有流传下来,流传下来的勾股定理的书面证明最早见于欧几里得的《几何原本》。在中国,对勾股定理证明的最早记载是三国时吴国赵爽的“勾股圆方图”。

证明

勾股定理有很多种证明方法,其中,《几何原本》给出的证明最麻烦,可能是证明方法最多的定理。下面列举几种常见的证法。

(本段落内容不完整,待补完)

赵爽的证法

《周髀算经》中的《勾股圆方图》。图片左侧的文字为“句股幂合以成弦幂”

周朝的《周髀算经》中有勾股定理和《勾股圆方图》,未给出证明。赵爽《周髀算经注》中的《勾股圆方图说》给出了证明,证明过程如下。

勾股各自乘,并之为玄[2]实。开方除之,即玄。案玄图有可以勾股相乘为朱实二,倍之为朱实四。以勾股之差自相乘为中黄实。加差实亦成玄实。以差实减玄实,半其余。以差为从法,开方除之,复得勾矣。加差于勾即股。凡并勾股之实,即成玄实。或矩于内,或方于外。形诡而量均,体殊而数齐。勾实之矩以股玄差为广,股玄并为袤。而股实方其里。减矩勾之实于玄实,开其余即股。倍股在两边为从法,开矩勾之角即股玄差。加股为玄。以差除勾实得股玄并。以并除勾实亦得股玄差。令并自乘与勾实为实。倍并为法。所得亦玄。勾实减并自乘,如法为股。股实之矩以勾玄差为广,勾玄并为袤。而勾实方其里,减矩股之实于玄实,开其余即勾。倍勾在两边为从法,开矩股之角,即勾玄差。加勾为玄。以差除股实得勾玄并。以并除股实亦得勾玄差。令并自乘与股实为实。倍并为法。所得亦玄。股实减并自乘如法为勾,两差相乘倍而开之,所得以股玄差增之为勾。以勾玄差增之为股。两差增之为玄。倍玄实列勾股差实,见并实者,以图考之,倍玄实满外大方而多黄实。黄实之多,即勾股差实。以差实减之,开其余,得外大方。大方之面,即勾股并也。令并自乘,倍玄实乃减之,开其余,得中黄方。黄方之面,即勾股差。以差减并而半之为勾。加差于并而半之为股。其倍玄为广袤合。令勾股见者自乘为其实。四实以减之,开其余,所得为差。以差减合半其余为广。减广于玄即所求也。

不知道你看没看懂,反正此条目的编写者是没看懂

用今天的数学语言复述如下:用人话复述如下:

  • “勾股各自乘,并之为玄实。开方除之,即玄”,意即直角三角形的两条直角边分别平方,再相加就得到斜边的平方,计算它的算术平方根就可以得到斜边。即:a2b2c,换言之,即a2b2c2
  • “案玄图有可以勾股相乘为朱实二,倍之为朱实四。以勾股之差自相乘为中黄实。加差实亦成玄实”,意即2ab+(ba)2c2整理后可得a2b2c2,即得证。

刘徽的证法

三国时魏国的数学家刘徽在为《九章算术》作注时也提出了一种勾股定理的证明方法,他绘制了“青朱出入图”,可惜图已失传,只留下了文字说明:

勾自乘为朱方,股自乘为青方,令出入相补,各从其类,因就其余不动也,合成弦方之幂,开方除之,即弦也。

欧几里得的证法

图(1)
图(2)

以下为欧几里得在《原本》中给出的证明的大致过程:

如图(1),在△ABC中,∠C=90°,BCaACbABc

分别以Rt△ABC的三边为边长作正方形AHIBACDECBFG,连接EBCH。过点CAB的垂线,分别交ABHI于点MN,如图(2).

EACA,∠EAB=∠CAH=90°+∠CABABAH

∴△EAB≌△CAH(SAS).

又∵S正方形ACDE=2SEABS长方形AHNM=2SCAH

b2S长方形AHNM

同理,a2S长方形MNIB

c2a2b2

注释

  1. 〔句〕通“勾”。
  2. 〔玄(xián)〕通“弦”。
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